Introduction
1,618 …= ,
qui
n’a jamais entendu parler de cette fameuse proportion ? Qui est dite
divine par Luca Pacioli, moine de1509 qui publia un ouvrage sur ce nombre, qui
fut illustré par Léonard de Vinci. Euclide lança dans la nature une insolite
créature mathématique en définissant ce nombre d’or comme « partage en
extrême et moyenne raison » et il nota phi la racine positive de x²-x-1=0.
Plus tard, ce nombre est
toujours utilisé dans l’architecture ou dans les arts, mais pourquoi l’homme
ressent-il « cette section
dorée » comme naturellement harmonieuse ?
Ce
fut le sujet de réflexion pour de nombreux philosophes et mathématiciens ;
et, c’est ainsi que nous en sommes venus à nous demander si ce nombre était
beaucoup plus présent qu’un autre dans notre vie quotidienne.
Certains dans le groupe pensaient que ce nombre était à
l’origine de l’esthétisme alors que d’autres pensaient qu’il n’avait rien de
particulier et donc aucun lien avec toute beauté.
Afin d’avancer dans notre recherche, nous avons établi
une correspondance par mails avec Robert Chalavoux, professeur hors-classe,
écrivain et créateur des éditions Chalagam ( http://www.futura-sciences.com/comprendre/d/dossier239-1.php
), ce qui nous a permis d’étendre notre réflexion sur ce sujet.
Pour essayer de comprendre son importance, nous
étudierons son omniprésence dans la nature, puis nous analyserons sa présence
dans les arts avant de voir où on le retrouve dans les mathématiques telles que
figures géométriques ou suites. Ensuite, nous verrons s’il n’y a pas des cas où
l’utilisation de nombre d’or est abusive, et si ces approximations ne peuvent
pas être à l’origine de beaucoup de théories.
I Dans quels cas le nombre d'or est-il plus présent qu'un autre nombre ?
1) Dans
la nature
Le
nombre d’or est un rapport souvent présent dans la nature de façon
indiscutable. On le trouve, par exemple, sur des ammonites datant de 100
millions d'années ou sur des coquillages, comme le Nautilus ; dont
l'intérieur présente une spirale formée d'une douzaine de petites loges
séparées les unes des autres par des cloisons de nacre. Plus l'animal grandit,
plus la taille des loges s'accroît mais la forme du coquillage conserve la
structure d'une spirale :
On
distingue des spirales sur beaucoup de végétaux, comme par exemple les cœurs de
tournesol, l'écorce des ananas ou bien l'écorce des pommes de pin. Ce qui est
étonnant, c'est que la suite de FIBONACCI se retrouve dans ces spirales .
Exemple : La pomme de pin montre clairement les spirales de
Fibonacci : 8 vertes dans un sens, 13 rouges dans l'autre sens. 8 et 13 sont
deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci.
Donc,
dans la nature, ce nombre d’or est très courant chez les animaux, dans les végétaux (arbres, fruits, fleurs, légumes,
…), et certes, beaucoup moins dans les minéraux, …mais parce que nous ne savons
sûrement pas encore tout ; certains minéraux récemment découverts présentent des axes pentagonaux
ou décagonaux, où l’on peut retrouver le nombre d'or.
2) Dans
l'architecture
Le
nombre d’or est bien présent, en effet on le retrouve dans l’art, qui est une
création de l’homme. Il se retrouve dans des constructions préhistoriques comme
en témoigne l’exemple du Dolmen de Goërem en équerre.
Le nombre d’or est également très présent
dans l’architecture, les Mayas et les Egyptiens semblaient le connaître, il en
va de même pour les monuments antiques grecques qui eux aussi obéissent aux
proportions du nombre d’or. Pour déterminer le nombre d’or, les bâtisseurs
avaient plusieurs moyens : à l’aide de tracés, de comptages de pas ou de
coudées ou avec l’hypothénuse de l’équerre ½. Selon certains artistes ou
théoriciens le nombre d’or est une proportion esthétique qui contribuerait à
l’harmonie d’œuvres picturales, architecturales, etc.
En
effet, impossible de parler du nombre d’or sans citer le modulor du Corbusier
(1887-1965) architecte français d’origine suisse.
Il cherche à appliquer le
modulor , système de proportion tout comme le nombre d’or. Il est basé sur les
proportions du corps humain et a été mis au mis au point en 1943. Dans le
modulor on a les rapports suivants :
226/140=1.61=phi ;
183/113=1.62=phi ; 140/86=1.62=phi ; 113/70=1.61=phi ;
70/43=1.62=phi ; 43/27=1.6=phi.
Le modulor permet de
respecter l’échelle humaine. Pour Le Corbusier, l’exactitude mathématique le
préoccupe moins que de proposer une échelle d’harmonie.
Il n’empêche que le modulor
suit la progression de la suite de Fibonacci qui tend vers le nombre d’or.
3) Dans
les mathématiques : géométrie et suites
Le nombre d’or est une proportion selon laquelle le
rapport existant entre la plus grande partie (y) d’un segment coupé en deux et
la plus petite (x-y) de ces parties est équivalent à celui existant entre le
segment entier (x) et la plus grande
(y) des parties : x / y = y / (x - y).
Si
l’on prend x=1, on a 1/y = y/1-y ó y² = 1-y ó y²-y+1 = 0, et, la seule racine positive de cette
équation de second degré est Φ.
Le rectangle d’or est un rectangle dont le
rapport grand coté/petit coté est égal au nombre d’or. Pour le construire, on
envisage le carré ABCD. Où I est le
milieu de [AB]. On rabat le point C sur (AB) en E au moyen du cercle de centre
I et de rayon [IC]. On construit ensuite le rectangle de cotés AD et AE. On
remarque que si AD=1,alors AE= Φ.
La spirale d’or est une figure est construite à partir
d'un grand rectangle d'or. On retire le grand carré au grand rectangle d'or et
on obtient un petit rectangle d'or. Ensuite, on retire le petit carré au petit
rectangle d'or et on obtient un rectangle d'or plus petit. On réitère
l'opération indéfiniment.
Le
pentagone régulier est un polygone à cinq côtés inscrit dans un cercle (tous
les points formant le pentagone sont sur un même cercle) et dont tous les côtés
et tous les angles ont les mêmes mesures. L'angle entre deux côtés consécutifs
du pentagone régulier vaut 108°. Le pentagone régulier est une figure d'or car
la proportion entre une diagonale et un côté est le nombre d'or.
AC/AD = Φ
Fibonacci
est un mathématicien italien du Moyen-âge qui a découvert une suite qui porte
son nom. Elle se construit simplement : chacun des termes est égal à la
somme des deux précédents. Ce qui donne, par
exemple :1-1-2-3-5-8-13-21… ; car il existe plusieurs suites, tout dépend du nombre de départ. Plus on la
prolonge et plus le rapport des deux derniers nombre se rapproche de la valeur
exacte du nombre d’or. Il existe aussi une suite géométrique avec, pour nombre
de départ 1 et Φ ; la suite complète est donc : … 1/Φ²,
1/Φ, 1, Φ, Φ², …
4) Bilan
Pour
certains, le nombre d’or est omniprésent et a alors un rapport avec la
perfection. Et donc, selon ces personnes, il définit une proportion divine
puisqu’elle est en l’homme, créature de Dieu.
Etant
donné que nous le retrouvons dans la nature et dans l’art mais aussi dans
plusieurs figures géométriques ou suites mathématiques ; en effet, après
avoir effectué plusieurs travaux, les scientifiques ont été étonnés de toujours
retrouver ce « fabuleux nombre », nous pouvons ainsi aisément en
déduire que ce rapport a quelque chose d’exceptionnelle.
Mais,
la philosophie du nombre d’or correspond au fait de garder un tout harmonieux ;
même si cela ne correspond pas toujours exactement à la virgule près. Le nombre
d’or est une proportion esthétique qui contribue donc à l’harmonie d’œuvres
picturales et architecturales. Il est appelé «d’or » et « divine
proportion » de part son aspect parfait et servit ainsi à construire des
temples selon des lois transcendantales c’est à dire des lois qui échappent aux
lois de la matière ou du monde.
Le
respect de ce nombre d’or, du plus petit détail aux éléments majeurs d’une
composition serait à la base de sa beauté. Précisons que ce n’est pas le nombre
d’or en lui même qui est beau mais le fait de tendre vers lui. Cette unité de
l’œuvre dans les arts est due à la propriété du nombre d’or qui correspond à
une esthétique immédiate et continue. Cependant la présence apparente du nombre
d’or dans ce qui nous entoure semble contestée par certains mathématiciens et
philosophes qui remettent en cause les théories établies jusqu’ici ; c’est
ce que nous allons voir dans une seconde partie.
II Dans quels cas ce nombre n’est pas plus présent qu’un autre ?
1) Contre-exemple
vis-à-vis des proportions humaines
Précisément dans le cas des
proportions humaines, on peut dire que l’homme a cherché à retrouver le nombre
d’or dans les dimensions du corps.
En effet, les mesures sont
peu précises car on peut les prendre n’importe où sur la main : un écart
de quelques millimètres peut les fausser. Elles sont approximatives, comme le
spécifie Marius Cleyet –Michaud dans
son ouvrage intitulé Le nombre d’or.
De plus, il faut choisir des
unités adaptées aux calculs. On peut alors se demander si ces unités n’ont pas
été cherchées dans le but de trouver le nombre d’or à la fin des calculs…
D’après les unités prises et
les mesures effectuées, le nombre d’or se retrouverait dans des rapports comme
1/ Φ ², qui serait égal à la paume de la main, ou Φ ² qui serait égal
à la coudée. Mais chaque individu étant différent, on peut alors remettre en
cause ces mesures. Remarquons aussi qu’elles ont été prises sur des
« canons » et non pas sur de nombreuses personnes .On ne peut
donc pas faire de généralités .De plus, comme il existe des nombres très
voisins du nombre d’or, on ne peut pas se contenter « d’à peu près ».
Regardons de plus près comment on été effectuées ces mesures : le haut de
la tête et les extrémités des quatre membres sont disposés aux sommets d’un
pentagone régulier étoilé inscrit dans un cercle . Le nombril est
légèrement en dessous du côté horizontal du pentagone. Le diamètre vertical du
cercle est ensuite divisé suivant une valeur égale à 5/3 ou très voisine de ce
nombre. Une autre valeur est parfois avancée,
à savoir 8/5. On remarque que les deux rapports 5/3 et 8/5 encadrent le
nombre d’or dans la suite traditionnelle de Fibonacci.
2) L’abus d’utilisation du
nombre d’or dans l’art
Le
nombre d’or a fasciné de nombreux chercheurs durant ce siècle, ceci a suscité
de nombreux mouvements de contestations de la part de diplômés en art comme
Marguerite Neveux, docteur en histoire de l’art et maître de conférence à
Paris.
En effet Marguerite Neveux a
publié un livre intitulé « Le Nombre d’or, radiographie d’un mythe »,
résultat de 10 ans de recherche. Elle est convaincu qu’il n’existe pas de loi
mathématique de l’esthétisme et explique que c’est à partir de 1932 qu’avec
acharnement, les adeptes du nombre d’or et Matila Ghyka lui même ont disséqué,
calculé, mesuré…,MARTYRISE les oeuvres
d’art pour y déceler le nombre d’or.
Par exemple sur le tableau
ci-dessous, un nombre impressionnant de calculs a été réalisé tout ceci pour ne
déceler finalement qu’une approximation du nombre d’or ! On retrouve ainsi
le nombre d’or ici où là mais il faut parfois chercher loin !!!
Ainsi
pour Marguerite Neveux, les partisans du nombre d’or s’obstinent à retrouver ce
nombre partout (Parthénon, temple de Louksor, pyramide de Chéops,
peintures de la renaissance à nos jours…). Selon elle, ces scientifiques ont
triché pour arriver à leur fin : « Un compas et une bonne dose
de mauvaise fois autorisent toutes sortes de conclusions ». Elle
s’explique en disant qu’une confusion est volontairement entretenue entre
l’inverse du nombre d’or : 0.618 et le rapport 5/8 = 0.625 souvent utilisé
en peinture et en architecture. Ainsi les chercheurs auraient abusivement
arrondis le rapport 5/8 à 0.618 .C’est de ce fait que l’on a prétendu que
certains artistes comme Nicolas Poussin, Paul Cézanne ou Henri Matisse auraient
calculés les proportions de leur tableaux en fonction du nombre d’or.
On
a donc décelé ou cru déceler le nombre d’or dans des œuvres connues alors que
les auteurs de ces œuvres n’avaient en aucun cas cherché à l’utiliser. Il y a
donc un abus d’utilisation du nombre d’or. Certains ont conscience de cet
abus : Mr Debonne, professeur d’art plastique déclarait ainsi à ces
élèves « Il ne faut pas appliquer le nombre d’or à tort et à travers sinon
on obtient des choses ridicules. » Il précisait aussi « qu’il ne faut pas
se focaliser dessus ».
Certains artistes ont délibérément
utilisé le nombre d’or dans leurs œuvres pour, selon eux, en augmenter la
beauté Ce fut le cas de tout un groupe de peintre cubiste français du début du
XXeme siècle, dont Jacques Villons.
3) Démonstration
On
sait que pour : x² - x – 1 = 0
Le
delta est : Δ=5
De
telle sorte que ses solutions sont : x1
= ( 1+√(5) )/2
x2 = ( 1-√(5) )/2
Nous
pouvons reconnaître Φ= x1
Pour
démontrer que Φ n’est pas plus présent qu’un autre nombre nous allons
procéder par étapes pour aboutir à une autre équation :
Tout
d’abord nous posons x = ( 1+√(n) )/2
Ainsi
nous pouvons en déduire x² = ( 1+2√(n)+n )/4
Donc
x² - x = [ ( 1+2√(n)+n )/4 ] – [ ( 1+√(n) )/2 ]
Soit
x² - x = ( n-1)/4
Donc
l’équation est x ²- x - [ ( n-1)/4 ] = 0
Ainsi
donc, si je veux par exemple ( 1+√(17) )/2 comme solution je choisis donc
n=17 que je remplace dans l’équation obtenue précédemment et j’obtiens donc
comme nouvelle équation x² - x - 4 = 0
Il en va de même pour tout n.
4) Bilan
Le
nombre d’or représente pour ses partisans la clé de la beauté et de
l’esthétisme ainsi qu’une harmonie idéale. Cependant, la notion de beauté
semble très relative : chacun n’en a-t-il pas une perception différente. Ce
qui paraît beau à une personne ne l’est pas forcément pour une autre.
Comment qualifier alors
quelque chose de beau ? Comment faire une généralisation de la
beauté ?
On
pourrait penser que le nombre d’or a été « choisi » pour définir une
forme de beauté. On s’est servi du fait qu’il possédait quelques propriétés
plus ou moins valables pour en faire la clé et l’explication de la nature. Il
mettrait ainsi tout le monde d ‘accord et servirait d’explication ou de
règle si l’on dit qu’il est à la base de la nature.
Au cours des siècles, le nombre d’or aurait été utilisé par de nombreuses personnes croyant en la beauté de ce nombre et pensant ainsi créer quelque chose d’harmonieux et d’esthétique par le simple fait de la présence d’un nombre « banal » dans leur œuvre définit par les hommes comme « modèle d’esthétisme et de beauté » !
Le
nombre d’or est-il vraiment omniprésent
ou, l’homme l’ayant défini comme modèle d’esthétisme il l’a volontairement
introduit partout ?
Nous sommes en effet entouré
de rapports dont le résultat se rapproche du nombre d’or : par exemple, le
rapport entre les dimensions d’un livre de poche: 1.657, d’ un jeu de
carte : 1.534, d’un billet de 100 francs :1.683…Ainsi, ce nombre ou
son approximation serait devenu banal ou ordinaire car on retrouve des formats
proches du rectangle d’or tout autour de nous.
Mais
faut-il se contenter d’à peu près ?
Conclusion
En
fait, c’est dans le milieu de la littérature et des artistes que l’on rencontre,
et de beaucoup, le plus d’adeptes du
nombre d’or. Quand on pénètre quelque peu dans ces milieux, on s’aperçoit que
beaucoup de ceux qui parlent du nombre d’or et qui y croient n’ont que des
notions rudimentaires sur les caractères mathématiques de ce nombre, et plus la
croyance se fait forte, plus la connaissance est réduite ( la foi se complait
souvent dans le mystère ).
Ainsi, l’intérêt que l’on
porte au nombre d’or peut se manifester sous diverses formes : ceux qui
croient fortement en cette divine proportion et ceux qui considèrent ce nombre
comme banal.
Ce
travail sur le nombre d’or nous a permis d’approfondir notre connaissance sur
celui-ci et de trouver des arguments appuyant notre point de vue que l’on soit
en faveur de l’omniprésence de ce nombre ou non. Il est vrai que dans certain
cas la « divine proportion » associé au nombre d’or est
indéniablement présente (comme dans certains exemples développés dans le
dossier). Est-ce la preuve du penchant certain pour les mathématiques de la nature ? Ou bien le nombre d’or
est-il tout simplement inévitable, tout comme en géométrie où l’on ne peut
diviser un cercle en cinq sans le rencontrer ?
Cela
peut nous amener à nous poser de nombreuses autres questions…Ainsi les
mathématiques sont-elles une science que l’homme découvre ou invente ?
Autant de questions auxquelles nous n'avons pas l'ambition d'apporter une
réponse nette et définitive, mais sur lesquelles il est intéressant de se
pencher et de faire avancer la réflexion.
Bibliographie
- Autour de Nombre d’Or, Galion thèmes, 1997
- Robert CHALAVOUX, Nombre d’or, nature et œuvre humaine, Chalagam, 2001
- Marius CLEYET-MICHAUD, Le nombre d’or, Presses universitaires de France, Que sais-je ?, 1993, p.31-33, 88
- Olivier VOIZEUX, Un nombre plaqué or, Science&Vie junior, Octobre 1996, n°26,p.79-85
- Nicolas WOERNER, Le nombre d'or, mythe ou mite ? , Les nombres, consulté le 2 octobre 2003
http://www.solest.com/index.php?id=238
- Chalagam édition, consulté le 9 octobre 2003
- Barbara PETIT, Le Nombre d'Or et la suite de Fibonacci, consulté le 9 octobre 2003
http://barbara.petit.free.fr/fibonacci/index.html
- Le nombre d’or : outil géométrique, curiosité mathématique, ou nombre magique, consulté le 20 novembre 2003 http://www.ece.fr:8000/~dauvergn/ormenu.html
- Owen Meany, La mythologie du nombre d'or, Vous y croyez, vous ?, consulté le 4 décembre 2003
http://owen.monblogue.com/2003/4/1
- Huck, Le Nombre d'Or, L'Anneau des Mathématiques Francophones, consulté le 11 décembre 2003